Titel
Funktionen reeller Variabler : Vorlesung
Einrichtung
SUB Göttingen
Signatur
Cod. Ms. E. Hecke Abb 2
Erscheinungsort
o.O. [Basel]
Titel
Inhaltsübersicht
Titel
Funktionen reeller Variabler : VorlesungInhaltsübersichtGrundbegriffeI. Allgemeinbegriffe der Cantorschen MengenlehreII. Kritik – AxiomatisierungDie Aufstellung der Axiome und die Besprechung der wichtigsten Axiome1) Funktionalgleichung f(x + y) = f(x) + f(y)Die Menge der Quadratpunkte 0 ≦ x,y ≦ 1 ist nicht umkehrbar eindeutig und stetig auf das Intervall 0 ≦ t ≦ 1 abbildbar.Zur Hilbertschen TheorieDie Anordnung der Kardinalzahlen. Zahlen der zweiten Zahlklassen.LiteraturZiel der VorlesungI. Teil. Abstrakte Mengenlehre§ 1. Mächtigkeit. Unendliche Mengen. Abzählbare Mengen.§ 2. Mächtigkeit des Kontinuums.§ 3. Kardinalzahlen und ihre Vergleichung. Fundamentalsatz.§ 4. Verknüpfung von Kardinalzahlen. Die Alef-Formeln.§ 5. Geordnete Mengen.6. Verknüpfung von Ordnungstypen.§ 7. Wohlgeordnete Mengen. Vergleichbarkeit von Ordnungszahlen.§ 8. Transfinite Induktion.§ 9. Wohlordnungssatz von Zermelo und Folgerungen. Klassifikation der Alefs. Ausblick.II. Teil. Grundlagen für die Lehre von den Punktmengen§ 10. Häufungspunkt, Konvergenz. Definitionen: perfekt, abgeschlossen etc.§ 11. Elementarsätze: Menge der Quadrate ist abzählbar, perfekte Menge ist nicht abzählbar. Eine abgeschlossene Menge ist immer Ableitung.§ 12. Der Gebietsbegriff. Eine wohlgeordnete aufsteigende Reihe ist abzählbar. Summe von Gebieten.§ 13. Ableitungen transfiniter Ordnung. Zerlegung abgeschlossener Mengen. Perfekte Mengen ~ ℵ§ 14. Beispiele von besonderen Punktmengen. Borelscher Satz. Borelsche Intervallmengen. Cantorsche Mengen.Anhang: Liouvillesche Zahlen.§ 15. Funktionen der Punkte einer Menge. Obere und untere Grenze.§ 16. Stetige Funktionen auf einer Menge. Beispiele.§ 17. Gleichmässige Stetigkeit.§ 18. Abbildung linearer Mengen.§ 19. Abbildung des Quadrates auf die Strecke. Invarianz der Dimensionszahl bei 2 und 1.§ 20. Die Kurve von Peano-Hilbert.§ 21. Zusammenhangs-Definition (Gebiet, Kontinuum)§ 22. Der Polygonsatz.§ 23. Vorbereitungssätze für den Jordanschen Kurvensatz.§ 24. Der Jordansche Kurvensatz.§ 25. Anwendung auf die Abbildung von ebenen Gebieten.III. Teil. Funktionen reeller Variabler im engeren Sinne§ 26. Gleichmässige Konvergenz.§ 27. Approximation stetiger Kurven durch Polygone.§ 28. Satz von Weierstrass und Lebesgue.§ 29. Stetige Funktionen ohne Differentialquotienten.§ 30. Funktionen mit unendlich vielen Unstetigkeiten (Hankel). Beispiel von Riemann. Dirichlet.§ 31. Funktionen mit beschränkter Schwankung.§ 32. Anwendung auf Bogenlänge.§ 33. Die Gleichung f(x + y) = f(x) + f(y)IV. Teil. Der neuere Integralbegriff§ 34. Der Peano-Jordansche Inhaltsbegriff.§ 35. Allgemeiner Ansatz zur Massbestimmung.§ 36. Das Lebesguesche Mass. Fundamentalsatz.§ 37. Messbare Mengen.§ 38. Das Lebesguesche Integral. Bedingungen für Integrabilität.§ 39. Messbare Funktionen.§ 40. Konvergente Funktionsfolgen.§ 41. Zwei Fundamentalsätze für Lebesguesche Integrale.§ 42. Die vier Ableitungen einer Funktion und ihr Integral.§ 43. Differenzierbarkeit von gewissen Funktionsklassen.§ 44. Nachträge: Unmessbare Mengen, Liouvillesche Zahlen.Einleitung zur MengenlehreEinleitung und HistorischesAntinomien der MengenlehreAxiome der MengenlehreLitteraturangaben zur MengenlehreGrundbegriffeBeweis des Bernsteinschen Aequivalenzsatzes
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